三问最速降线

填坑施工中。。。

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不然我顺着网线摸过去干你，打到你🐎都不认识

据说，完整地研究最速降线问题要回答以下3个问题

1. 满足什么条件的曲线才可能是最速降线？
2. 如果在给定的起点和终点间可能存在最速降线，是否只能找到一条最速降线，还是说可以找到多条？
3. 如果在给定的起终点间不幸找到了多条路线均可能是最速降线，我从这些路线中挑了一条说就是它，如何让在座各位相信我并不是在这些备选路线中乱挑一条来糊弄人？

第一个问题问的是最速降线是否存在，它必须满足怎样的条件；第二个问题问的是满足必要条件的路线是否唯一；问题三则要求给出清晰的、无法辩驳的理由，来证明没有任何一条曲线的下滑耗时比最终找到的曲线更短（可能有其它曲线下滑耗时和它一样，但不会更短）。

然而我认为这样的三问实在是不恰当的，它是站在问题的结论的角度反向提问，将已有经验灌入其中好让学生快速推得结论，而不是一种遵循科学探索规律的思路。

我何出此言呢？试想知道了最速降线的必要条件，但是用此条件却找出两三条曲线，那就能证明最速降线不唯一吗？按上面三个问题的思路，一旦求出几条曲线来，势必要对问题二得出否定的结论，那要是后面无法有力回答这几条曲线是否耗时相同，就无法回答问题三，岂不是打脸？就算绞尽脑汁在这几条曲线中分出了个高下，发现最速降线只有一条，那不也是打脸第二问的结论？再退一步说，既然求出了几条曲线来，我拿不准，那问题二就变得缺乏意义，不如直接看问题三，这更加说明这种提问方式有毛病嘛。所以问题如此设置、如此的思路，完全是建立在吃准了问题二只会得出唯一解的经验之上。辣鸡！he~ tuī !

过了好几个月了，我又来填坑了。

这几个月里，我也看清了很多东西，咱们就不要对前人的研究抱那么大的不满了，只要知道那个思路是有问题的就行了。

其实就是要看到必要条件和充要条件的不同，我们可以轻易地推断出最速降线的一些性质，但是用这些性质去重构一条线，它就一定能还原最速降线吗？比如，我们知道一条线要是最速降线，其上每一个小段都必须是最速降线，因为如果有某一段不是，我们就能将这一段替换成最速降线，从而减少整段线的下降用时，但是如果我们将一段段的最速降线头尾相接连成一条线，用我们已知的必要条件去强行构造，得到的就是新的最速降线了吗？显然不是的吧，如果这一点有的看官想不通，我在后面举个例子，画个图，就很清楚了；逻辑清晰的朋友可能发现了，我这里稍微偷换了概念，最速降线首尾相接并不能保证每一段都是最速降线啊，哈哈😜，好吧，是的，但是不可否认的是，这里依然是有一个绕不开的问题：一条线被任意分成n段(n>1)后如果每一段都是最速降线，那么这条线本身是否就是最速降线呢？

用数学归纳法，我们知道，这个命题只需证明n=2时成立就够了，这个，其实也挺容易被证明的（具体过程我就省略了），但即使知道这个，也没有什么卵用（希望有后人能打脸我），因为如果要用这个方法构造我们新的最速降线，至少要已知2条最速降线吧，可见这是个自我循环的无底洞。

所以我说，忘却前人问题一、二、三的思路，忘却什么用必要条件去构造，干就完了，我们直接回答问题三，就不用去管问题一、二了。首先，我们要回归物理学一个非常朴素的思想：理想外推。

牛顿第一定律也是一个存在逻辑循环论证的东西，当年伽利略为了证明这个做了一个“半实践”的斜坡实验，我们来回顾一下。

之所以说这是个“半实验”的实验，是因为真实世界中并没有伽利略要求的绝对光滑的斜坡，也更不可能有图1 丁中无限大的光滑平面，但是这个实验中的朴素的理想外推思想是人们的共识，所以我们不妨也来理想外推一下。