若 p 是质数，则 p^2+26 是合数

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Category: Math

分3种情况讨论：

1. 当 p=2 时
   • p²+26 = 30 = 2*3*5
2. 当 p=3 时
   • p²+26 = 35 = 5*7
3. 当 p>3 时
   • ∵ p不能被2整除
   • ∴ 不妨设 p=2n+1 (n>1, n∈Z⁺)
   • ∵ p=2n+1>3 且 p不能被3整除
   • ∴ 2n+1 必不能被3整除 ⇒ 2n+1≠3(2k+1) (k∈Z⁺)
   • 设 n=3k+m, 0≤m<3
   • 则有 2n+1=3(2k+(2m+1)/3)≠3(2k+1) ⇒ m≠1 ⇒ m∈{0,2}
   • 若 m=0 ⇒ n=3k+0
     • p²+26 = p²+2+24 = 4n²+4n+27 = 4n(n+1)+27 = 3(4(3k+1)k+9)
   • 若 m=2 ⇒ n=3k+2
     • p²+26 = p²+2+24 = 4n²+4n+27= 4n(n+1)+27 = 3(4(k+1)(k+2)+9)
   • ∴ 当 p>3 时，p² + 26 能被3整除

综上所述，若 p 是质数，则 p²+26 一定是合数。