Zeta(2)公式：ζ(2) = π^2/6

Category: Math

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不然我顺着网线摸过去干你，打到你🐎都不认识

填坑施工中。。。

引言：本文其实想要讨论的是黎曼ζ函数，但是由于我水平有限，目前看的资料还不够，所以先来说说ζ(1)和ζ(2)。在座的有不少大佬，我在本文中也会尽量收敛些、语气恭谦些。

定义：

这是著名的 Riemann Zeta Function，2018年闹得沸沸扬扬的黎曼猜想研究的就是它，可惜阿蒂亚爵士已于2019年初逝世，享年90岁。

s=1 时，有Zeta(1)=1+1/2+1/3+1/4+1/5+…，由于种种不得而知的原因，这个和式到现在还在困扰着数学家们，现在已推导出的求和公式中仍然有一个神秘的常数未被破解，可能需要等下一个能与欧拉比肩的人才能完全解决这一看似简单实则暗藏玄机的求和问题。

Zeta(1)其实也是个调和极数，关于求Zeta(1)公式的方法，我所查到的资料都是在调和极数中进行介绍；至于为什么我没有在ζ函数的资料中看到它？俺也不懂，俺也不敢问。我还是来为没接触过调和极数的读者解释一下为什么说Zeta(1)是一个调和极数吧。我先从调和数列开始讲，如果懂调和数列，也就明白调和极数是什么了。

定义：若数列满足 ，则称该数列为一个调和数列

所以自然数倒数组成的数列也算是调和数列，但并不是唯一的调和数列，因为不同的d可以定义出不同的调和数列。所以，顾名思义，调和极数就是n→∞的调和数列求和；既然Zeta(1)是自然数倒数之和，当然也就算是调和极数了。

Zeta(1) 人们已经研究几百年了，但是迄今为止没有能得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：

其中常数 ，称为欧拉常数，专为调和极数所用; 约等于，并且随着趋近于正无穷而趋近于0。该结果由欧拉给出。

早在中世纪后期，尼克尔•奥里斯姆(Nicole Oresme)面对Zeta(1)时碰到的第一个问题就是它是否发散。1360年，他证明了这个极数是发散的，他用的方法其实很简单，其中的思想和比较审敛法完全一致，只是当时极限理论还在萌芽，更没有系统地进行过极数的研究，因此虽然尼克尔实际上用了比较审敛法，但他并不知道自己这个方法叫什么🙂。他的证明具体是这样的：

而 显然是发散的。这样，通过比较审敛法就证明了ζ(1)是发散的。

还可以利用反证法来证明，我比较喜欢这种方法，在此也想和大家说一说🖖

假设ζ(1)收敛，则数列的前n项和应满足：

但是实际上，与假设的推论矛盾，故假设不真，因此ζ(1)发散。

s=2 时，也即Zeta(2)=1+1/4+1/9+1/16+1/25+…，相对来说是非常简单的，此时

求ζ(2)准确值的问题就是17～18世纪非常有名的巴塞尔问题 (Basel Problem)，这个经典的问题以大数学家欧拉和数学家家族伯努利家族的故乡——巴塞尔命名；其实解决该问题只需要证明上式，而其证法保守估计得有几十种。

我读了一位知乎网友的回答 (传送门🔗)，写得不错，所以这里就直接搬过来了🤞🙏；TA使用的是一种较为初等的证明方法，需要用到微积分中的定积分和幂级数的相关知识。

知乎上的原作者应该是数学专业的。。。给出的证明非常清晰严谨，整个证明被拆解成4个部分，也就是4个子证明。

(一)

我们可以通过分步积分得到递推公式

由这个递推公式可以推出

同理还可以推出

于是

   （这个也可由递推公式直接推出）

由于当 时

自然有

于是，可得到结论：

我们将该结论称为结论1

(二)

紧接上一部分，利用结论1的不等式

推出

（我绕了一会儿才弄出来😬）

由夹逼定理可知

此即著名的Wallis公式

从它可推出结论2：

(三)

（这步开始就有点骚了。。。

构造函数

则

即

上式等号两边同时对 x 求导，有

上式等号两边再同时对 x 求n阶导数。运用高阶导数的Leibniz公式，可得

整理得

()

当 x=0 时，有

这就构成了y的n阶导数的递推公式

再者，我们可以直接算出 y’ 和 y”：

从而，当 时

而当 时

从而有 的Maclaurin级数为

并且显然它收敛于自身的Maclaurin级数

所以

这是结论3，非常重要，它把之前关于阶乘的结论和我们关注的 1/n^2 联系了起来

(四)

（这步是最骚的

根据结论3：

如果令 ，

则有

由于

由比较判别法的极限形式，可得级数 收敛 （这里我也蒙了一下，看上面那式的前半段是得不到的，是看后半段）

由Weierstrass级数判别法可知

函数顶级数 一致收敛，从而逐项可积。

我们已经知道：

分别对 t 求 和 在 上的积分

从而